Just another WordPress.com site

หลายๆคนอาจจะเคยได้ยินคำว่า “Monte Carlo Method” ในหลายๆที่(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักศึกษาที่เรียนทางด้านฟิสิกส์ และสถิติ)
แล้วเจ้า method นี้มันเป็นอย่างไงล่ะ??

จริงๆแล้ว Monte Carlo Method เป็นชื่อเรียกรวมๆ ของวิธีการคำนวนที่ใช้หลักความน่าจะเป็นเข้ามาประยุกต์
พูดได้ว่าวิธีการคำนวนค่าตัวเลขวิธีไหนก็ตามที่ใช้ความน่าจะเป็นเข้ามาจับ เราจะเรียกมันว่า Monte Carlo Method เสมอ…
และแน่นอนว่าการคำนวนแบบนี้ ถ้าเราทำการรันสองครั้ง ค่าที่ได้มักจะไม่ได้ค่าที่เท่ากันหรอก

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการหาค่า \pi

ให้ p แทนความน่าจะเป็นที่สุ่มจุดมา 1 จุด ภายในสี่เหลี่ยมจตุรัสดังรูป แล้วจุดที่ได้อยู่ภายในวงกลม

ให้ X แทนพื้นวงกลม และให้ A  แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

จะได้ว่า

\displaystyle p=\frac{X}{A}=\frac{\pi \cdot 1^2}{2\cdot 2}=\frac{\pi}{4}

ดังนั้น

\displaystyle \pi=4p

ดังนั้นเราอาจจะคำนวนพื้นที่ โดยการสุ่มจุด (x,y) โดยที่ -2\leqslant x\leqslant 2 และ -2\leqslant y\leqslant 2 มา N จุด แล้วตรวจสอบว่ามีจุดที่สุ่มมานั้นอยู่ภายในวงกลมกี่จุด (โดยตรวจสอบว่า x^2+y^2\leqslant 1 หรือไม่)

สมมติว่ามีจุดที่อยู่ภายในวงกลม n จุด เราจะได้ว่าพื้นที่ๆเราต้องการหาคือ

\displaystyle X=4\left ( \frac{n}{N} \right )

เมื่อทดลองดูสุ่มจะได้ผลลัพธ์ดังนี้(หมายเหตุ : ผลลัพธ์ในการรันแต่ละครั้งจะให้ค่าไม่เท่ากัน)

ต่อไปเราลองมาดู Monte Carlo Method อีกตัวอย่างนึงกัน สมมติว่าเราต้องการหาพื้นที่ของพาราโบลา y=x^{2} จาก x=0 ถึง x=2

ให้ p แทนความน่าจะเป็นที่สุ่มจุดมา 1 จุด แล้วจุดที่ได้จะอยู่ในบริเวณที่เราต้องการหาพื้นที่

ให้ X แทนพื้นที่ในบริเวณที่เราต้องการหาพื้นที่ และให้ A  แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบพาราโบลา

จะได้ว่า

\displaystyle p=\frac{X}{A}=\frac{X}{2\cdot 4}=\frac{X}{8}

ดังนั้น

\displaystyle X=8p

ดังนั้นเราอาจจะคำนวนพื้นที่ โดยการสุ่มจุด (x,y) โดยที่ 0\leqslant x\leqslant 2 และ 0\leqslant y\leqslant 4 มา N จุด แล้วตรวจสอบว่ามีจุดที่สุ่มมานั้นอยู่ใต้กราฟพาราโบลากี่จุด (โดยตรวจสอบว่า y\leqslant x^2 หรือไม่)

สมมติว่ามีจุดที่อยู่ภายใต้กราฟพาราโบลา n จุด เราจะได้ว่าพื้นที่ๆเราต้องการหาคือ

\displaystyle X=8\left ( \frac{n}{N} \right )

เมื่อทดลองดูสุ่มจะได้ผลลัพธ์ดังนี้(หมายเหตุ : ผลลัพธ์ในการรันแต่ละครั้งจะให้ค่าไม่เท่ากัน)

เมื่อลองเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับค่าพื้นที่จริงๆของมันซึ่งมีค่าเป็น

\displaystyle \int_{0}^{2}x^2dx= \left . \frac{x^3}{3} \right |_{0}^{2}=\frac{8}{3}=2.667

จะเห็นว่าค่าที่ได้จาก Monte Carlo Method ก็ไม่เลวทีเดียว ^^

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: